双曲线的简单几何性质
类比椭圆的研究路径 —— 从方程看图形，从图形悟性质
学习目标
把研究椭圆的方法搬到双曲线上，再补上双曲线独有的“渐近线”与“张口”。
- 1掌握双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、实轴与虚轴、渐近线 —— 重点
- 2理解双曲线离心率 e 的定义、取值范围（e > 1）与渐近线方程，能由性质求标准方程 —— 难点
- 3会求双曲线的离心率（直接法、齐次式法），并会借助渐近线画草图、利用性质解题
方法迁移
研究椭圆时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面入手。双曲线与椭圆最本质的差别，是它多了两条渐近线 —— 曲线无限延伸时无限接近却永不相交的直线。这就是本课的核心。
一、双曲线的简单几何性质（上）
以 x²a² − y²b² = 1（a > 0，b > 0） 为例探究。
1. 范围
由 x²a² = 1 + y²b² ≥ 1，得 x ≤ −a 或 x ≥ a，y ∈ R
双曲线在两条竖直直线 x = ±a 的外侧，两支分离
2. 对称性
关于 x 轴、y 轴、原点都对称
坐标轴是对称轴，原点是对称中心（双曲线的中心）
3. 顶点
与对称轴（x 轴）的交点：A₁(−a, 0)、A₂(a, 0)
双曲线只有两个顶点，B₁、B₂ 不在曲线上
4. 实轴与虚轴
线段 A₁A₂ 叫做双曲线的实轴，长等于 2a，a 叫做实半轴长；线段 B₁B₂ 叫做虚轴，长等于 2b，b 叫做虚半轴长。
二、渐近线与离心率
双曲线的两条“路标” —— 渐近线决定形状，离心率决定张口。
5. 渐近线
双曲线 x²a² − y²b² = 1 在第一象限内的方程为 y = ba·√(x² − a²)，曲线在直线 y = bax 的下方，并随 x 增大慢慢靠近该直线。
渐近线方程：y = ±bax。利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图。
6. 离心率
定义 e = ca；因为 c > a > 0，所以 e > 1。
又 ba = √(c² − a²)a = √(e² − 1) —— e 越趋近于 1，ba 越小，渐近线所夹区域越狭窄（张口小）；e 越大，开口越大。
性质总表：焦点在 x 轴 vs 焦点在 y 轴
| 性质 | 焦点在 x 轴：x²a² − y²b² = 1 | 焦点在 y 轴：y²a² − x²b² = 1 |
|---|---|---|
| 范围 | x ≤ −a 或 x ≥ a，y ∈ R | y ≤ −a 或 y ≥ a，x ∈ R |
| 对称性 | 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点 | |
| 顶点 | A₁(−a, 0)、A₂(a, 0) | A₁(0, −a)、A₂(0, a) |
| 轴长 | 实轴长 2a，虚轴长 2b（等轴双曲线：a = b） | |
| 渐近线 | y = ±bax | y = ±abx |
| 离心率 | e = ca，e ∈ (1, +∞)，其中 c² = a² + b²（c > a > 0） | |
注意点 + 即时判断
先记住 5 个易错点，再动手判断 5 道题。
- B₁(0, −b)、B₂(0, b) 是虚轴端点，不是双曲线上的点，不能称为顶点。
- 离心率刻画“张口”大小：e 越大，开口越大；e 越接近 1，双曲线越“瘦长”。
- 渐近线方程要看焦点所在轴：x 轴用 ±ba，y 轴用 ±ab。
- 焦点到渐近线的距离 = b（焦点 (±c, 0) 到 bx − ay = 0 的距离：bc√(a²+b²) = b）。
- 等轴双曲线 x² − y² = m（m ≠ 0），离心率恒为 √2。
双曲线参数实验室
拖动 a、b 滑块，观察曲线如何“张口”——顶点、焦点、渐近线、离心率实时联动。
例 1 · 由双曲线的方程研究几何性质
核心三步：化标准方程 → 定焦点位置与 a、b → 由 c² = a² + b² 求 c。
求双曲线 9y² − 16x² = 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
化为标准方程：y²4² − x²3² = 1（焦点在 y 轴）。
实半轴长 a = 4，虚半轴长 b = 3；c = √(a² + b²) = √(4² + 3²) = 5。
焦点坐标：(0, −5)、(0, 5)。
离心率 e = ca = 54；渐近线方程（焦点在 y 轴）：y = ±abx = ±43x。
求双曲线 9y² − 4x² = −36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程。
化为标准方程：x²9 − y²4 = 1（焦点在 x 轴），即 x²3² − y²2² = 1，所以 a = 3，b = 2，c = √13。
顶点坐标：A₁(−3, 0)、A₂(3, 0)；焦点坐标：(−√13, 0)、(√13, 0)。
实轴长 2a = 6，虚轴长 2b = 4；离心率 e = ca = √133。
渐近线方程：y = ±bax = ±23x。
若将双曲线的方程变为 nx² − my² = mn（m > 0，n > 0），求其实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程。
化为标准方程：x²m − y²n = 1（焦点在 x 轴），故 a = √m，b = √n，c = √(m + n)。
顶点坐标：(−√m, 0)、(√m, 0)；焦点坐标：(±√(m+n), 0)。
离心率 e = ca = √(m+n)√m = √(1 + nm)。
渐近线方程：y = ±bax = ±√n√mx。
反思感悟 + 跟踪训练 1
由双曲线的方程研究几何性质
- 把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键。
- 由标准方程确定焦点位置，确定 a、b 的值（看正项在哪个轴）。
- 由 c² = a² + b² 求出 c 的值，从而写出双曲线的各项几何性质。
（多选）已知双曲线 x²2k² − y²k² = 1，对于 ∀k ∈ R 且 k ≠ 0，下列选项中因 k 改变而变化的是（ ）
A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程
a² = 2k²，b² = k²，c² = a² + b² = 3k²，焦距 2c = 2√3|k|，随 k 变；
离心率 e = ca = √3√2 = √62，与 k 无关；
顶点坐标 (±√2|k|, 0)，随 k 变；渐近线 y = ±bax = ±√22x，与 k 无关。
答案：A、C —— 因 k 改变而变化的是焦距和顶点坐标。
例 2 · 由几何性质求标准方程（一）
生活中的双曲线 —— 双曲线型冷却塔。
双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面。它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m。试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1 m）。
根据对称性，在轴截面所在平面建立直角坐标系 Oxy，使最小圆直径 AA′ 在 x 轴上，圆心与原点重合。上、下口直径 CC′、BB′ 都平行于 x 轴，且 |CC′| = 13×2，|BB′| = 25×2。
设双曲线方程为 x²a² − y²b² = 1（a > 0，b > 0），点 C 的坐标为 (13, y)，则点 B 的坐标为 (25, y − 55)。因为直径 AA′ 是实轴，所以 a = 12。又 B、C 两点都在双曲线上，
⎧ 25²12² − (y−55)²b² = 1 ① ⎨ 13²12² − y²b² = 1 ② ⎩
由方程 ② 得 y = 5b12（负值舍去），代入方程 ①，得 25²12² − (5b12 − 55)²b² = 1。
化简得 19b² + 275b − 18150 = 0 ③，解方程 ③ 得 b ≈ 25（负值舍去）。
因此所求双曲线的方程为 x²144 − y²625 = 1。
例 2 · 由几何性质求标准方程（二）（三）
待定系数法 —— 先定焦点轴，再列方程求 a²、b²。
求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1) 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 53，且经过点 M(−3, 2)。
设所求方程为 x²a² − y²b² = 1（a > 0，b > 0）。
因为 e = 53，所以 e² = a²+b²a² = 1 + b²a² = 259，所以 ba = 43。
由题意得 ba = 43 且 9a² − 12b² = 1（M 在曲线上），解得 a² = 94，b² = 4。
所求双曲线的标准方程为 x²94 − y²4 = 1。
(2) 渐近线方程为 y = ±12x，且经过点 A(2, −3)。
渐近线为 y = ±12x，焦点位置不确定，分类讨论：
焦点在 x 轴：设 x²a² − y²b² = 1，则 ba = 12 ①；A 在曲线上：4a² − 9b² = 1 ②。①②联立，无解。
焦点在 y 轴：设 y²a² − x²b² = 1，则 ab = 12 ③；A 在曲线上：9a² − 4b² = 1 ④。联立 ③④，解得 a² = 8，b² = 32。
所求标准方程为 y²8 − x²32 = 1。
由渐近线 y = ±12x，可设双曲线方程为 x²2² − y² = λ（λ ≠ 0）（与渐近线 Ax ± By = 0 对应：A²x² − B²y² = λ）。
A(2, −3) 在曲线上：2²2² − (−3)² = λ，即 λ = 1 − 9 = −8。
所以 x²4 − y² = −8，即 y²8 − x²32 = 1。
反思感悟 + 跟踪训练 2
由双曲线的性质求标准方程
- 一般用待定系数法转化为解方程（组），注意焦点位置，正确选择方程形式。
- 巧设方程：① 与 x²a² − y²b² = 1 有相同渐近线的方程可设为 x²a² − y²b² = λ（λ ≠ 0）；② 渐近线为 Ax ± By = 0 的双曲线可设为 A²x² − B²y² = λ（λ ≠ 0）。
(1) 焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为 53。
设 x²a² − y²b² = 1，由题意 2b = 8 → b = 4，e = ca = 53，即 c = 53a。
代入 c² = a² + b²：259a² = a² + 16，解得 a² = 9。
双曲线的标准方程为 x²9 − y²16 = 1。
(2) 过点 (2, 0)，与双曲线 y²64 − x²16 = 1 的离心率相等。
已知双曲线中 a₀² = 64，b₀² = 16，e₀² = a₀²+b₀²a₀² = 54。
焦点在 x 轴：可设 x²64 − y²16 = λ（λ > 0），代入 (2, 0)：λ = 464 = 116，得 x²4 − y² = 1。
焦点在 y 轴：可设 y²64 − x²16 = λ（λ > 0），代入 (2, 0)：λ = −14 < 0（舍去）。
综上，所求双曲线的标准方程为 x²4 − y² = 1。
例 3 · 求双曲线的离心率
两条路：直接法（求 a、c）与齐次式法（把条件化成 a、c 的齐次方程）。
已知圆 C：x² + y² − 10y + 21 = 0 与双曲线 x²a² − y²b² = 1（a > 0，b > 0） 的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A. √2 B. 53 C. 52 D. √5
一条渐近线为 y = bax，即 bx − ay = 0；圆 C：x² + y² − 10y + 21 = 0 的圆心为 C(0, 5)，半径 r = 2。
圆心到渐近线的距离 d = |−5a|√(b²+a²) = 5ac，相切 → 5ac = 2，得 e = ca = 52。
答案：C（用到了“焦点到渐近线的距离 = b”的简化：这里圆心到渐近线距离即 5ac）。
已知 F₁、F₂ 是双曲线 x²a² − y²b² = 1（a > 0，b > 0） 的两个焦点，PQ 是经过 F₁ 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果 ∠PF₂Q = 90°，求双曲线的离心率。
设 F₁(c, 0)，把 x = c 代入方程：c²a² − y²b² = 1，得 y = ±b²a（通径端点）。
由 |PF₂| = |QF₂| 且 ∠PF₂Q = 90°，知 |PF₁| = |F₁F₂| = 2c，所以 b²a = 2c，即 b² = 2ac。
又 b² = c² − a²：c² − 2ac − a² = 0，两边除以 a² 得 e² − 2e − 1 = 0，解得 e = 1 + √2（负值舍去）。
双曲线的离心率为 1 + √2。
求双曲线离心率的方法
- 直接法：若能求得 a、c，直接利用 e = ca 得解。
- 齐次式法：若得到关于 a、c 的齐次方程 pc² + qac + ra² = 0（p ≠ 0），两边除以 a² 转化为关于 e 的方程 pe² + qe + r = 0 求解。
本课小结 + 课时对点练答案
知识清单
- 1双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、实轴与虚轴、渐近线、离心率
- 2由双曲线的简单几何性质求标准方程（待定系数法）
- 3求双曲线的离心率（直接法、齐次式法）
课时对点练 · 答案速查
提示：第 7 题 tan∠MF₁F₂ = 2√55；第 9 题焦点轴不确定，两个解；第 10 题 e = 2；第 13 题等边三角形，e = √3；第 15 题椭圆 e = √3 − 1，双曲线 e = 2。